Question

【題目】類比、轉化、從特殊到一般等思想方法在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完整.

原題：如圖1，在△ABC中，點D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P，求證：＝.

(1)嘗試探究：在圖1中，由DP∥BQ，得△ADP___△ABQ(填“≌”或“∽”)，則＝___，同理可得＝，從而＝；

(2)類比延伸：如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點，若AB＝AC＝1，則MN的長為_____；

(3)拓展遷移：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點，AB＜AC，求證：MN2＝DM·EN.

Answer 1

【答案】（1）∽；；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）可證明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，從而根據等比代換，得出

（2）根據三角形的面積公式求出BC邊上的高,根據△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的邊長,根據等于高之比，即可求出MN；

（3）可得出△BGD∽△EFC，則DGEF=CFBG；又由DG=GF=EF，得,再根據（1），從而得出答案．

（1）如圖1，

∵DP∥BQ，

∴△ADP∽△ABQ，

∴

同理可得△ACQ∽△APE，

∴

∴

故答案為：∽；；

（2）如圖2所示，

作AQ⊥BC于點Q．

∵BC邊上的高

且△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點

∴DE=DG=GF=EF=BG=CF，

∴DE：BC=1：3，

又∵DE∥BC，

∴AD：AB=1：3，

∴

∵DE邊上的高為，

∴

∴MN=.

（3）證明：

∵∠B＋∠C＝90°，∠CEF＋∠C＝90°，

∴∠B＝∠CEF.

又∵∠BGD＝∠EFC＝90°，

∴△BGD∽△EFC.

∴，即DG·EF＝CF·BG.

又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG.

由(1)易得

∴

∴

∵GF2＝CF·BG，

∴MN2＝DM·EN.