Question

如圖，在等腰梯形中，AC∥OB，OA＝BC．以O為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系xoy，已知，B（8，0）．

（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)為的中點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為直徑作⊙D，試判斷點(diǎn)與⊙D的位置關(guān)系；
（3）在第一象限內(nèi)確定點(diǎn)，使與相似，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）C（6，）（2）點(diǎn)在⊙D上（3）（6，2），（8，8）（8，）

解：（1）C（6，）；....(3分)
（2）連結(jié)AD．

∵AC∥OB，即 AC∥BD．
又 D是圓心，∴DB＝OB＝4＝AC．
∴ ACBD是平行四邊形． ∴ AD＝CB＝AO．
過A作AE⊥OB于E．
在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得 AO＝4．
∴ AD＝AO＝4＝OB．
∴ 點(diǎn)在⊙D上．....(7分)
（3）∵ 點(diǎn)在⊙D上，OB為直徑，∴ ∠OAB＝90⁰． 即△OAB是直角三角形．
故 符合題意的點(diǎn)M有以下3種情況：
① 當(dāng)與△BAO相似時(shí)（如圖），則有 ．
∴ M₁B＝AO．
∵ CB＝AO，∴ M₁B＝CB． ∴點(diǎn)M₁與點(diǎn)C重合．
∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，2）；....(9分)
② 當(dāng)與△OBA相似時(shí)，即過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于（如圖），
則有．
在直角三角形△OAB中，由勾股定理可求得 AB＝4．
∴ B＝8．
∴ 此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，8）．....(11分)
③ 當(dāng)與△BOA相似時(shí)，即過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于（如圖），
則有．
∴ B＝．
∴ 此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，）．....(13分)
（1）已知四邊形OACB是等腰梯形，則根據(jù)A，B的坐標(biāo)及等腰梯形的性質(zhì)即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）連接AD，根據(jù)已知可推出四邊形ABCD是平行四邊形，過A作AE⊥OB于E，根據(jù)勾股定理即可注得AO的長(zhǎng)，從而可判定點(diǎn)A在⊙D上．
（3）點(diǎn)A在⊙D上，OB為直徑，則可知△OAB是直角三角形，從而分情況進(jìn)行分析即可．