Question

【題目】如圖，和是有公共頂點(diǎn)的直角三角形，，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn)．

（1）如圖1，若和是等腰三角形，求證：；

（2）如圖2，若，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．

（3）在（1）的條件下，若，，若把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，求PB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立，理由見解析；（3）或．

【解析】

（1）由題意依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，依據(jù)同角的余角相等得到，然后依據(jù)SAS可證明≌，最后，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到；

（2）根據(jù)題意先判斷出∽，進(jìn)行分析即可得出結(jié)論；

（3）由題意分為點(diǎn)E在AB上和點(diǎn)E在AB的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明∽，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．

解：（1）和是等腰直角三角形，，

，，．

≌．

．

（2）（1）中結(jié)論成立，理由：

在中，，

，

在中，，

，

，

，

∽，

.

（3）解：當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，．

，

．

同（1）可證≌．

，

，

∽．

，

，

．

當(dāng)點(diǎn)E在BA延長線上時(shí)，．

，

，

同（1）可證≌．

，

，

∽．

，

，

．

綜上所述，PB的長為或．