Question

已知，如圖，拋物線的頂點為C（1，-2），直線y=kx+m與拋物線交于A、B兩點，其中OA=3，B點在y軸上．點P為線段AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），過點P且垂直于x軸的直線與這條拋物線交于點E．
（1）求直線AB的解析式；
（2）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x，求點E坐標(biāo)（用含x的代數(shù)式表示）；
（3）點D是直線AB與這條拋物線對稱軸的交點，是否存在點P，使得以點P、E、D為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．

Answer 1

解：（1）解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）²-2，
∵A（3，0）在拋物線上，
∴0=a（3-1）²-2
∴a=，
∴y=（x-1）²-2，
當(dāng)x=0時，y=-，
∴B（0，-），
∴設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把點A、B的坐標(biāo)代入解析式得：
，
解得：，
∴直線AB的解析式為y=x-；

（2）∵P為線段AB上的一個動點，PE⊥x軸，且P點橫坐標(biāo)為x，
∴E點橫坐標(biāo)為x，
∵E在拋物線上，
∴E點坐標(biāo)為（x，（x-1）²-2）；

（3）D點在拋物線y=（x-1）²-2的對稱軸上，橫坐標(biāo)為1，
又∵D點直線AB上，
∴D的坐標(biāo)為：D（1，-1），
①當(dāng)∠DEP=90°時，如圖，△AOB∽△EDP，
∴=．
過點D作DQ⊥PE于Q，
∴x_Q=x_P=x，y_Q=-1，
∴△DQP∽△AOB∽△EDP，
∴=，
又OA=3，OB=，AB=，
又DQ=x-1，
∴DP=（x-1），
∴==，
解得：x=-1±（負(fù)值舍去）．
∴P（-1，）（如圖中的P₁點）；
②當(dāng)∠DEP=90°時，△AOB∽△DEP，
∴=．
由（2）PE=-x²+x，DE=x-1，
∴=，
解得：x=1±，（負(fù)值舍去）．
∴P（1+，-1）（如圖中的P₂點）；
綜上所述，P點坐標(biāo)為（1+，-1）或（-1，）．
分析：（1）首先設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）²-2，由A點坐標(biāo)為（3，0），則可將A點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可求得這個二次函數(shù)的解析式，當(dāng)x=0時求出點C的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把點A、B的坐標(biāo)代入解析式，求出k，b的值即可得出AB的解析式；
（2）根據(jù)點橫坐標(biāo)為x，且PE⊥x軸，可得E點橫坐標(biāo)為x，又知E點在拋物線上，代入x即可得出E點坐標(biāo)；
（3）分別從當(dāng)∠EDP=90°時，△AOB∽△EDP與當(dāng)∠DEP=90°時，△AOB∽△DEP兩種情況去分析，注意利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，即可求得答案，注意不要漏解．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是方程思想，分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．