Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸負(fù)半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，且OA=OB．
（1）求b+c的值；
（2）若點C在拋物線上，且四邊形OABC是平行四邊形，試求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，作∠OBC的角平分線，與拋物線交于點P，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知得到B（0，c），A（-c，0），把A的坐標(biāo)代入解析式即可求出答案；
（2）由平行四邊形OABC得到BC=AO=c，點B的坐標(biāo)為（0，c），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到C的坐標(biāo)，把C的坐標(biāo)代入解析式和b+c=1組成方程組，即可求出b、c的值，即得到拋物線的解析式；
（3）過點P作PM⊥y軸，PN⊥BC，垂足分別為M、N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PM=PN，設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，-x2+

1

2

x+

1

2

)，代入解析式即可求出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意得：點B的坐標(biāo)為（0，c），其中c＞0，OB=c，
∵OA=OB，點A在x軸的負(fù)半軸上，
∴點A的坐標(biāo)為（-c，0），
∵點A在拋物線y=-x²+bx+c上，
∴0=-c²-bc+c，
∵c＞0，
∴兩邊都除以c得：0=-c-b+1，
b+c=1，
答：b+c的值是1．

（2）解：∵四邊形OABC是平行四邊形
∴BC=AO=c，
又∵BC∥x軸，點B的坐標(biāo)為（0，c）
∴點C的坐標(biāo)為（c，c），
又點C在拋物線上，
∴c=-c²+bc+c
∴b-c=0或c=0（舍去），
又由（1）知：b+c=1，
∴b=

1

2

，c=

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=-x2+

1

2

x+

1

2

，
答：拋物線的解析式是y=-x²+

1

2

x+

1

2

．

（3）解：過點P作PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別為M、N，PM交BC的延長線于H，

∵由（2）知BC∥x軸，PM⊥x軸，
∴PH⊥BC，
∵BP平分∠OBC，PN⊥y軸，PH⊥BC，
∴PN=PH，
設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，-x2+

1

2

x+

1

2

)，
∴PN=x，ON=PM=-（-x²+

1

2

x+

1

2

）
∴BN=BO+ON=

1

2

-（-x²+

1

2

x+

1

2

），PN=x，
∴BN=PN，即

1

2

-(-x2+

1

2

x+

1

2

)=x，
解得：x=

3

2

或x=0，
當(dāng)x=

3

2

時，-x²+

1

2

x+

1

2

=-1，
∴點P的坐標(biāo)為（1.5，-1），
當(dāng)x=0時，-x²+

1

2

x+

1

2

=

1

2

，、
∴點P的坐標(biāo)為（0，

1

2

），此時P和B重合，舍去，
答：點P的坐標(biāo)是（1.5，-1）．

點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)上點的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解一元二次方程等知識點，能運用題中隱含的條件求二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵，此題是一個綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度，但題型較好．