Question

某單位花50萬元買回一臺高科技設備，根據對這種型號設備的跟蹤調查顯示，該設備投入使用后，若將養(yǎng)護和維修的費用均攤到每一天，則有結論：第x天應付的養(yǎng)護與維修費為[

1

4

(x-1)+500]元．
（1）如果將該設備從開始投入使用到報廢共付的養(yǎng)護與維修費及購買該設備費用的和均攤到每一天，叫做每天的平均損耗，請你將每天的平均損耗y（元）表示為使用天數(shù)x（天）的函數(shù)；
（2）按照此行業(yè)的技術和安全管理要求，當此設備的平均損耗達到最小值時，就應當報廢，問該設備投入使用多少天應當報廢？

Answer 1

分析：（1）設第x天應付的養(yǎng)護費與維修費為[

1

4

(x-1)+500]元，將每天的養(yǎng)護費與設備成本相加，除以總天數(shù)即可得到函數(shù)關系式；
（2）利用在正實數(shù)范圍內取值的變量x，一定有

a

x

+

x

b

≥2

ax xb

=2

a b

，即可求出設備的報廢天數(shù)．

解答：解：（1）y=

500000+( 1 4 ×0+500)+( 1 4 ×1+500)+( 1 4 ×2+500)+…+( x-1 4 +500)

x

=

1

x

[500000+500x+

1

4

•

x(x-1)

2

]=

500000

x

+

x

8

+499

7

8

．
即y=

500000

x

+

x

8

+499

7

8

；

（2）y=

500000

x

+

x

8

+499

7

8

≥2

500000 x • x 8

+499

7

8

=500+499

7

8

=999

7

8

，
當且僅當

500000

x

=

x

8

，y=999

7

8

，
即當x=2000時，y有最小值，所以這臺設備投入使用2000天，應當報廢．

點評：本題考查了函數(shù)的最值問題，在解本題時要用到以下數(shù)學知識點：對于確定的正常數(shù)a、b以及在正實數(shù)范圍內取值的變量x，一定有

a

x

+

x

b

≥2

ax xb

=2

a b

，即當且僅當

a

x

=

x

b

時，

a

x

+

x

b

有最小值2

a b

．