Question

【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn),,三點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn),交直線于點(diǎn).

(1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在點(diǎn),使得以為直徑的圓與軸相切?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)連接,將繞平面內(nèi)某點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,點(diǎn)、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、、.若的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”, 那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出“和諧點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)2個(gè)；A1橫坐標(biāo)為1或.

【解析】

（1）把點(diǎn)A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解；

（2）先求出BD直線解析式，根據(jù)題意得到2OP=QM=直徑d即可求解；

（3）兩個(gè)和諧點(diǎn)；AO＝1，OC＝2，設(shè)A1（x，y），則C1（x＋2，y1），O1（x，y1），①當(dāng)A1、C1在拋物線上時(shí)，②當(dāng)O1、C1在拋物線上分別代入求解.

（1）設(shè)拋物線解析式為y＝ax2＋bx＋c，

將點(diǎn)A（1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，

∴，

解得，

∴；

（2）∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴D（0，2）．

設(shè)直線BD的解析式為y＝kx2．

∵將（4，0）代入得：4k2＝0，

∴k＝．

∴直線BD的解析式為y＝x2．

當(dāng)點(diǎn),使得以為直徑的圓與軸相切，

∴2OP=QM= d

∵P

∴Q（m,）,M(m, m2)

故2m=（）-（m2）

解得m=2或m=-4,

∵點(diǎn)在線段上，故m=-4不符合題意，

故m=2；

（3）兩個(gè)和諧點(diǎn)；

∵AO＝1，OC＝2，

設(shè)A1（x，y），則C1（x＋2，y1），O1（x，y1），

∴①當(dāng)A1、C1在拋物線上時(shí)，

∴

∴，

∴A1的橫坐標(biāo)是1；

②當(dāng)O1、C1在拋物線上時(shí)，

，

∴

∴A1的橫坐標(biāo)是.