Question

如圖，矩形ABCD中，AB=16cm，AD=4cm，點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P在邊AB上沿AB方向以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在邊BC上沿BC方向以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，△PBQ的面積為y（cm²）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）求△PBQ的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊相等表示出BC，然后表示出PB、QB，再根據(jù)三角形的面積列式整理即可得解，根據(jù)點(diǎn)Q先到達(dá)終點(diǎn)確定出x的取值范圍即可；
（2）利用二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD=4，
根據(jù)題意，AP=2x，BQ=x，
∴PB=16-2x，
∵S_△PBQ=

1

2

PB•QB，
∴y=-x²+8x，
∵點(diǎn)P的速度是2cm/s，點(diǎn)Q的速度是1cm/s，
∴點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間是16÷2=8秒，
點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間是4÷1=4秒，
∵一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，
∴自變量取值范圍：0＜x≤4；

（2）∵y=-x²+8x=-（x-4）²+16，
∴當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，最大值為16，
∴△PBQ的面積的最大值為16cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，主要利用了矩形的對(duì)邊相等的性質(zhì)，三角形的面積，用x表示出PB、QB是解題的關(guān)鍵．