Question

已知：如圖，△ABC中，D、E、F、G均為BC邊上的點(diǎn)，且BD=CG，EF=3DE．若S_△ABC=1，則圖中所有三角形的面積之和為

7

．

Answer 1

分析：如題圖所示的所有三角形均以A為一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)底邊在BC上，因此所有三角形都具有相等的高，于是可將計(jì)算所有三角形面積之和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算BC上所有線(xiàn)段長(zhǎng)度之和的問(wèn)題．

解答：解：∵所有線(xiàn)段長(zhǎng)之和是BC的n倍，
∴圖中所有三角形面積之和就是S_△ABC的n倍．
設(shè)DE=FG=x，則BD=CG=2x，EF=3x，BC=9x．
∴圖中共有1+2+3+4+5=15個(gè)三角形，
則它們?cè)诰�(xiàn)段BC上的底邊之和為
[BC+（BD+DC）+（BE+EC）+（BF+FC）+（BG+GC）]+[DG+（DE+EG）+（DF+FG）+EF，
=9x×5+5x×3+3x=63x，
由此可知BC上所有線(xiàn)段之和63x是BC=9x的7倍，
所以圖中所有三角形面積之和等于S_△ABC的7倍．
已知S△ABC=1，故圖中所有三角形的面積之和為7．
故填：7．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)三角形面積的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是圖中所有三角形都具有相等的高，于是可將計(jì)算所有三角形面積之和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算BC上所有線(xiàn)段長(zhǎng)度之和的問(wèn)題．所有三角形面積之和就是S_△ABC的n倍．這是此題的突破點(diǎn)．