如圖1,已知Rt△ABC中,,AC=8cm,BC=6cm.點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動,同時點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動,它們的速度均為2cm/s.以AQ、PQ為邊作平行四邊形AQPD,連接DQ,交AB于點(diǎn)E.設(shè)運(yùn)動的時間為t(單位:s)(0≤t≤4).解答下列問題:
(1)用含有t的代數(shù)式表示AE=_____________;
(2)當(dāng)t為何值時,DQ=AP;
(3)如圖2,當(dāng)t為何值時,平行四邊形AQPD為菱形;
(4)直接寫出:當(dāng)DQ的長最小時,t的值.
(1)5-t;(2);(3)
;(4)
【解析】
試題分析:(1)先根據(jù)勾股定理求得AB的長,再根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動特征即可求得結(jié)果;
(2)由題意當(dāng)DQ=AP時,□AQPD是矩形,易證△APQ∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可;
(3)當(dāng)□AQPD是菱形時,DQ⊥AP,根據(jù)∠BAC的余弦函數(shù)的定義求解即可;
(4)根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動特征結(jié)合DQ的長度的特征求解即可.
(1)由題意得AE=5-t;
(2)當(dāng)DQ=AP時,□AQPD是矩形
易證△APQ∽△ABC,得,解得
∴當(dāng)時,DQ=AP;
(3)當(dāng)□AQPD是菱形時,DQ⊥AP
則COS∠BAC,即
,解得
∴當(dāng)時,□AQPD是菱形;
(4)
考點(diǎn):動點(diǎn)問題的綜合題
點(diǎn)評:此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),在中考中極為常見,一般以壓軸題形式出現(xiàn),難度較大.
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