Question

【題目】如圖, 平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)C（28，28）分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為B、A，一次函數(shù)y=x+3的圖像分別與x軸和CB交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)P 是DE中點(diǎn)，連接AP.

⑴ 求點(diǎn)D與點(diǎn)E的坐標(biāo)； ⑵求證：△ADO≌△AEC；⑶ 求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】⑴點(diǎn)D（-4，0）；點(diǎn)E（28，24）；⑵ 見解析.⑶AP=20.

【解析】

（1）根據(jù)題意可求出E點(diǎn)橫坐標(biāo)為28，然后根據(jù)一次函數(shù)解析式即可求出D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)坐標(biāo)即可求出OD=CE，然后根據(jù)題意即可證出四邊形AOBC是正方形，從而得出AO =AC，∠AOD=∠C=90°，再利用SAS即可證出△ADO≌△AEC；

（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得：∠OAD=∠CAE，AD=AE，從而證出△ADE為等腰直角三角形，即可得到AP=DE，然后利用勾股定理即可求出DE，從而求出AP.

解：（1）∵CE垂直x軸，點(diǎn)C（28，28）

∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)為28

∵一次函數(shù)y=x+3的圖像分別與x軸和CB交于點(diǎn)D、E

當(dāng)y=0時(shí)，解得：x=-4，當(dāng)x=28時(shí)，解得：y=24

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（28，24）

（2）∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（28，24），點(diǎn)C（28，28）

∴OD=4，CE=28－24=4

∴OD=CE

∵過點(diǎn)C（28，28）分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為B、A，

∴四邊形AOBC是正方形

∴AO =AC，∠AOD=∠C=90°，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（28,0）

在△ADO和△AEC中

∴△ADO≌△AEC

（3）∵△ADO≌△AEC

∴∠OAD=∠CAE，AD=AE

∴∠OAD＋∠OAE=∠CAE＋∠OAE

∴∠DAE=∠OAC=90°

∴△ADE為等腰直角三角形

∵點(diǎn)P 是DE中點(diǎn)

∴AP=DE

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（28,0），點(diǎn)D（-4，0），點(diǎn)E（28，24）

∴BD=28－（-4）=32，BE=24－0=24

根據(jù)勾股定理：DE=

∴AP=DE=20