Question

如圖，四邊形ABCD為菱形，對角線AC，BD相交于點E，F(xiàn)是邊BA延長線上一點，連接EF，以EF為直徑作⊙O，交DC于D，G兩點，AD分別于EF，GF交于I，H兩點．

（1）求∠FDE的度數(shù)；

（2）試判斷四邊形FACD的形狀，并證明你的結論；

（3）當G為線段DC的中點時，

①求證：FD=FI；

②設AC=2m，BD=2n，求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比．

 

Answer 1

解：（1）∵EF是⊙O的直徑，∴∠FDE=90°；

（2）四邊形FACD是平行四邊形．

理由如下：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，

∴∠AEB=90°．

又∵∠FDE=90°，

∴∠AEB=∠FDE，

∴AC∥DF，

∴四邊形FACD是平行四邊形；

（3）①連接GE，如圖．

∵四邊形ABCD是菱形，∴點E為AC中點．

∵G為線段DC的中點，∴GE∥DA，

∴∠FHI=∠FGE．

∵EF是⊙O的直徑，∴∠FGE=90°，

∴∠FHI=90°．

∵∠DEC=∠AEB=90°，G為線段DC的中點，

∴DG=GE，

∴=，

∴∠1=∠2．

∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∴FD=FI；

②∵AC∥DF，∴∠3=∠6．

∵∠4=∠5，∠3=∠4，

∴∠5=∠6，∴EI=EA．

∵四邊形ABCD是菱形，四邊形FACD是平行四邊形，

∴DE=BD=n，AE=AC=m，F(xiàn)D=AC=2m，

∴EF=FI+IE=FD+AE=3m．

在Rt△EDF中，根據(jù)勾股定理可得：

n²+（2m）²=（3m）²，

即n=m，

∴S_⊙O=π（）2=πm²，S_菱形ABCD=•2m•2n=2mn=2m²，

∴S_⊙O：S_菱形ABCD=．