Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），∠AOC＝60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方）．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)△OMN的面積為S，直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤6），試求S與t的函數(shù)表達(dá)式；

（3）在題（2）的條件下，是否存在某一時(shí)刻，使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3：4？如果存在，請(qǐng)求出t的取值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（2，2），B（6，2）；（2）S＝t2；S＝t；S＝﹣t2+3t；（3）不存在，理由見解析；不存在某一時(shí)刻，使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3：4．

【解析】

（1）根菱形性質(zhì)得出OA＝AB＝BC＝CO＝4，過A作AD⊥OC于D，求出AD、OD，即可得出答案；

（2）有三種情況：①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，直線l與OA、OC兩邊相交，②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，直線l與AB、OC兩邊相交，③當(dāng)4＜t≤6時(shí)，直線l與AB、BC兩邊相交，畫出圖形求出即可；

（3）分為以上三種情況，求出得到的方程的解，看看是否在所對(duì)應(yīng)的范圍內(nèi)，即可進(jìn)行判斷．

解：（1）∵四邊形OABC為菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0），

∴OA＝AB＝BC＝CO＝4，

過A作AD⊥OC于D，

∵∠AOC＝60°，

∴OD＝2，AD＝，

∴A（2，），B（6，）；

（2）直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)與菱形OABC的兩邊相交有三種情況：①如圖1，

當(dāng)0≤t≤2時(shí)，直線l與OA、OC兩邊相交，

∵MN⊥OC，

∴ON＝t，

∴MN＝ONtan60°＝t，

∴S＝ONMN＝t2；

②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，直線l與AB、OC兩邊相交，如圖2，

S＝ONMN＝×t×＝t；

③當(dāng)4＜t≤6時(shí)，直線l與AB、BC兩邊相交，如圖3，

設(shè)直線l與x軸交于H，

MN＝，

∴S＝MNOH＝（t）t＝；

（3）答：不存在，

理由是：假設(shè)存在某一時(shí)刻，使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3：4，

菱形AOCB的面積是4×2＝8,

①t2：8＝3：4，

解得：t＝±2，

∵0≤t≤2，

∴此時(shí)不符合題意舍去；

②t：8＝3：4，

解得：t＝6（舍去）；

③（）：8＝3：4，

此方程無解．

綜合上述，不存在某一時(shí)刻，使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3：4．