Question

8、如圖，在直角坐標(biāo)系中，射線OA與x軸正半軸重合，以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，將OA逆時針旋轉(zhuǎn)：OA?OA₁?OA₂?…?OA_n…，旋轉(zhuǎn)角∠AOA₁=2°，∠A₁OA₂=4°，∠A₂OA₃=8°，…要求下一個旋轉(zhuǎn)角（不超過360°）是前一個旋轉(zhuǎn)角的2倍．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角大于360°時，又從2°開始旋轉(zhuǎn)，即∠A₈OA₉=2°，∠A₉OA₁₀=4°，…周而復(fù)始．則當(dāng)OA_n與y 軸正半軸第一次重合時，n的值為

24

（提示：2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸=510）

Answer 1

分析：由題意知：每8組角為一個循環(huán)；若OA與y軸正半軸重合，那么射線OA旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為：360°•k+90°，即旋轉(zhuǎn)的角度為整數(shù)，且是10的倍數(shù)；在每組的循環(huán)中，前4組或后4組角的度數(shù)和正好是10°的倍數(shù)，因此所求的n值必為4的倍數(shù)，能求出k是正整數(shù)的就是符合題意的n值．

解答：解：若經(jīng)過旋轉(zhuǎn)OA_n與y軸正半軸重合，那么射線OA旋轉(zhuǎn)的角度為：360°•k+90°，（k為正整數(shù)）
因此旋轉(zhuǎn)的角度必為10°的倍數(shù)；
由題意知：2+2²+2³+2⁴=30，2⁵+2⁶+2⁷+2⁸=480；
即n的值必為4的倍數(shù)，所以360°•k+90°能被4整除，
∴360°•k+90°時能被4整除，
∴k是正整數(shù)的值時，就是符合題意的n值；
∴當(dāng)k=4時，n取最小值．即360°•k+90°=1530°，
∴510°×（n÷8）=1530°，
∴n=24．
故答案是：24．

點評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．解題時，正確的表示出射線OA旋轉(zhuǎn)的角度，并正確的判斷出n是4的倍數(shù)，是解決此題的關(guān)鍵，難度較大．