Question

【題目】在數(shù)學(xué)活動課上，數(shù)學(xué)老師出示了如下題目：

如圖①，在四邊形中，是邊的中點(diǎn)，是的平分線，．

求證：．

小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)以下兩種方法：

方法1：如圖②，延長、交于點(diǎn)．

方法2：如圖③，在上取一點(diǎn)，使，連接、．

（1）請你任選一種方法寫出這道題的完整的證明過程；

（2）如圖④，在四邊形中，是的平分線，是邊的中點(diǎn)，，，求證：．

　　　　　　

Answer 1

【答案】（1）方法1：證明見解析；方法2：證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）方法1：先根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，然后根據(jù)線段的和差即可得證；

方法2：先根據(jù)角平分線的定義得出，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，然后根據(jù)線段中點(diǎn)的定義、等腰三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)、平角的定義可得，由等腰三角形的定義可得，由此根據(jù)線段的和差即可得證；

（2）如圖（見解析），參照方法1構(gòu)造輔助線，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出平分，從而有，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、角的和差得出，，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得證．

（1）方法1：如圖②，延長、交于點(diǎn)

是的平分線

是邊的中點(diǎn)

在和中，

；

方法2：如圖③，在上取一點(diǎn)，使，連接、

是的平分線

在和中，

是邊的中點(diǎn)

，即

，即

又

；

（2）如圖，過點(diǎn)C作，交AE延長線于點(diǎn)G，延長GC交AB于點(diǎn)F，連接EF

由方法1可知：

是等腰三角形

平分

，

，即

在和中，

．