Question

【題目】如圖，中，點是邊上一個動點，過作直線，設交的平分線于點，交的平分線于點．

探究：線段與的數量關系并加以證明；

當點運動到何處時，且滿足什么條件時，四邊形是正方形？

當點在邊上運動時，四邊形________是菱形嗎？（填“可能”或“不可能”）

Answer 1

【答案】（1）OE=OF；（2）當點O運動到AC的中點，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形；（3）不可能．

【解析】

（1）由直線MN∥BC，MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F，易證得△OEC與△OFC是等腰三角形，則可證得OE=OF=OC；

（2）正方形的判定問題，AECF若是正方形，則必有對角線OA=OC，所以O為AC的中點，同樣在△ABC中，當∠ACB=90°時，可滿足其為正方形；

（3）菱形的判定問題，若是菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直．

（1）OE=OF．理由如下：

∵CE是∠ACB的角平分線，∴∠ACE=∠BCE．

又∵MN∥BC，∴∠NEC=∠ECB，∴∠NEC=∠ACE，∴OE=OC．

∵OF是∠BCA的外角平分線，∴∠OCF=∠FCD．

又∵MN∥BC，∴∠OFC=∠ECD，∴∠OFC=∠COF，∴OF=OC，∴OE=OF；

（2）當點O運動到AC的中點，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．理由如下：

∵當點O運動到AC的中點時，AO=CO．

又∵EO=FO，∴四邊形AECF是平行四邊形．

∵FO=CO，∴AO=CO=EO=FO，∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，∴四邊形AECF是矩形．

已知MN∥BC，當∠ACB=90°，則

∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，∴AC⊥EF，∴四邊形AECF是正方形；

（3）不可能．理由如下：

如圖，連接BF．

∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，但在△GFC中，不可能存在兩個角為90°，所以四邊形BCFE不能是菱形．

故答案為：不可能．