Question

醫(yī)藥公司推出了一種抗感冒藥，年初上市后，公司經歷了從虧損到盈利的過程．如圖的二次函數圖象（部分）表示了該公司年初以來累積利潤S（萬元）與時間t（月）之間的關系（即前t個月的利潤總和S與t之間的關系）．
根據圖象提供信息，解答下列問題：
（1）公司從第幾個月末開始扭虧為盈；
（2）累積利潤S與時間t之間的函數關系式；
（3）求截止到幾月末公司累積利潤可達30萬元；
（4）求第8個月公司所獲利是多少元？

Answer 1

分析：（1）由圖中可以看出公司從第4個月末以后開始扭虧為盈；
（2）本題是通過構建函數模型解答銷售利潤的問題，應根據圖象以及題目中所給的信息來列出S與t之間的函數關系式；
（3）把30代入累計利潤S的函數關系式里，求得月份．
（4）分別把t=7，t=8，代入原函數解析，再把總利潤相減就可得出．

解答：解：（1）由圖象可知公司從第4個月末以后開始扭虧為盈；

（2）由圖象可知其頂點坐標為（2，-2），
故可設其函數關系式為：S=a（t-2）²-2．
∵所求函數關系式的圖象過（0，0），于是得
a（t-2）²-2=0，解得a=

1

2

．
∴所求函數關系式為：S=

1

2

（t-2）²-2或S=

1

2

t²-2t．
答：累積利潤S與時間t之間的函數關系式為：S=

1

2

（t-2）²-2或S=

1

2

t²-2t；

（3）把S=30代入S=

1

2

（t-2）²-2，得

1

2

（t-2）²-2=30．
解得t₁=10，t₂=-6（舍去）．
答：截止到10月末公司累積利潤可達30萬元；

（4）把t=7代入關系式，得S=

1

2

×7²-2×7=10.5，
把t=8代入關系式，得S=

1

2

×8²-2×8=16，
16-10.5=5.5，
答：第8個月公司所獲利是5.5萬元．

點評：本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用．我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，尤其是對本題圖象中所給的信息是解決問題的關鍵．