Question

（1）一條直線可以把平面分成兩個(gè)部分（或區(qū)域），如圖，兩條直線可以把平面分成幾個(gè)部分？三條直線可以把平面分成幾個(gè)部分？試畫圖說明．
（2）四條直線最多可以把平面分成幾個(gè)部分？試畫出示意圖，并說明這四條直線的位置關(guān)系．
（3）平面上有n條直線．每?jī)蓷l直線都恰好相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)，處于這種位置的n條直線分一個(gè)平面所成的區(qū)域最多，記為a_n，試研究a_n與n之間的關(guān)系．

Answer 1

解：（1）如圖①，兩條直線可以把平面分成3或4個(gè)部分；如圖②，三條直線可以把平面分成4或6或7個(gè)部分；

（2）如圖③，四條直線最多可以把平面分成11部分；四條直線的位置關(guān)系：四條直線兩兩相交；

（3）一條直線可以把平面分成兩部分，兩條直線最多可以把平面分成4部分，三條直線最多可以把平面分成7部分，四條直線最多可以把平面分成11部分，則n條最多可以把平面分成：a_n=．
分析：（1）分別得到兩條直線平行和相交，三條直線平行和交于一點(diǎn)和兩兩相交的結(jié)果．
（2）只有四條直線兩兩相交時(shí)，才能將平面分的最多；分別畫出圖形即可求得所分平面的部分；
（3）一條直線可以把平面分成兩部分，兩條直線最多可以把平面分成4部分，三條直線最多可以把平面分成7部分，四條直線最多可以把平面分成11部分，可以發(fā)現(xiàn)，兩條直線時(shí)多了2部分，三條直線比原來多了3部分，四條直線時(shí)比原來多了4部分，…，n條時(shí)比原來多了n部分．
因?yàn)閚=1，a₁=1+1
n=2，a₂=a₁+2
n=3，a₃=a₂+3
n=4，a₄=a₃+4
…
n=n，a_n=a_n-1+n
以上式子相加整理得，a_n=1+1+2+3+…+n=1+．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了規(guī)律型：圖形的變化，找到a_n=1+1+2+3+…+n=1+是解題的關(guān)鍵．第（1）題注意分類討論．