Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，∠OAC＝58°．

（Ⅰ）如圖①，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)，與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，求∠P的大��；

（Ⅱ）如圖②，P為AB上一點(diǎn)，CP延長(zhǎng)線(xiàn)與⊙O交于點(diǎn)Q．若AQ＝CQ，求∠APC的大�。�

Answer 1

【答案】（I）∠P＝26°；（II）∠APC＝48°．

【解析】

（I）根據(jù)等腰三角形中有一底角為58度時(shí)，可得∠COA＝64°，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得出∠OCP＝90°，進(jìn)而求得∠P的度數(shù)；
（II）先由（I）知∠AOC＝64°，根據(jù)圓周角定理得∠Q＝∠AOC＝32°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得∠QAC＝∠QCA＝74°，最后由三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．

（I）如圖①，

∵OA＝OC，∠OAC＝58°，

∴∠OCA＝58°

∴∠COA＝180°﹣2×58°＝64°

∵PC是⊙O的切線(xiàn)，

∴∠OCP＝90°，

∴∠P＝90°﹣64°＝26°；

（II）∵∠AOC＝64°，

∴∠Q＝∠AOC＝32°，

∵AQ＝CQ，

∴∠QAC＝∠QCA＝74°，

∵∠OCA＝58°，

∴∠PCO＝74°﹣58°＝16°，

∵∠AOC＝∠QCO+∠APC，

∴∠APC＝64°﹣16°＝48°．