Question

（8分）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：

“在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC，如圖，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由”．

小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：

（1）特殊情況，探索結(jié)論（2分）

當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖①，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：

AE ______ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例啟發(fā)，解答題目（4分）

【解析】
題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE _____ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

理由如下：

如圖②，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請(qǐng)你完成以下解答過程）

（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題（2分）

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長(zhǎng)為2，AE=1，求CD的長(zhǎng)（請(qǐng)你直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

（1）故答案為：＝．

（2）過E作EF∥BC交AC于F，∵等邊三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案為：=．

（3）CD=3．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；

（2）過E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；

（3）當(dāng)D在CB的延長(zhǎng)線上，E在AB的延長(zhǎng)線式時(shí)，由（2）求出CD=3．

考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．