Question

小明學(xué)了勾股定理后很高興，興沖沖的回家告訴了爸爸：在△ABC中，若∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，如下圖，根據(jù)勾股定理，則a²+b²=c²．爸爸笑瞇瞇地聽(tīng)完后說(shuō)：很好，你又掌握了一樣知識(shí)，現(xiàn)在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理還成不成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想a²+b²與c²的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．〔下圖備用）

Answer 1

解：①當(dāng)三角形是銳角三角形時(shí)，
證明：作AD⊥BC垂足是D，設(shè)CD的長(zhǎng)為x，
根據(jù)勾股定理得：b²-x²=AD²=c²-（a-x）²
整理得：a²+b²=c²+2ax
∵2ax＞0
∴a²+b²＞c²

②當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)
證明：過(guò)B點(diǎn)作AC的垂線交AC于D點(diǎn)，設(shè)CD的長(zhǎng)為y
在直角三角形ABD中，AD²=c²-（a+y）²
在直角三角形ADC中，AD²=b²-y²，
∴b²-y²=c²-（a+y）²
整理得：a²+b²=c²-2ay
∵2ay＞0，∴a²+b²＜c²．

所以：①在銳角三角形中，a²+b²＞c²．
②在鈍角三角形中，a²+b²＜c²．
分析：根據(jù)題意要分銳角三角形、鈍角三角形分別證明，作出它們的高，根據(jù)高是兩個(gè)直角三角形的一個(gè)公用直角邊，利用勾股定理作出證明．
點(diǎn)評(píng)：作出高轉(zhuǎn)化到直角三角形中去，利用勾股定理得出結(jié)論．