Question

【題目】綜合與探究

如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，定點(diǎn)為，對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是在軸下方的拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，軸交射線于點(diǎn)，作直線．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好落在該拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，當(dāng)時(shí)，判斷點(diǎn)是否在直線上，說(shuō)明理由；

（4）在（3）的條件下，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，探究四邊形是否為平行四邊形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在直線上．理由見解析；（4）四邊形是平行四邊形，理由見解析

【解析】

（1）先將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式，求出拋物線的解析式，從而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及拋物線的解析式求出G點(diǎn)的坐標(biāo)，然后因?yàn)?/span>，根據(jù)平行線分線段成比例，求出CE的值，則可得E的坐標(biāo)；（3）首先求出直線BG的解析式，然后檢查A點(diǎn)是否在直線BG上;(4)根據(jù)平行四邊形的判定判斷四邊形PFHG是否式平行四邊形.

解：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

，解得．

拋物線的表達(dá)式為．

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（2），，

四邊形為平行四邊形．

，

又，，．

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

點(diǎn)落在拋物線上，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

．

，

即，．

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在直線上．

理由如下：

當(dāng)時(shí)，由（2）可知，

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，

把，兩點(diǎn)坐標(biāo)代人，

可得．

解方程組，得．

直線的函數(shù)表達(dá)式為．

當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)在直線上．

（4）四邊形是平行四邊形．

理由如下：

由（3）可知點(diǎn)的坐標(biāo)為．

點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，

．解得．

直線的函數(shù)表達(dá)式為．

解方程組，解得

點(diǎn)．

，，

．

為的中點(diǎn)，

（或），．

四邊形為平行四邊形．