【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=45°，邊長(zhǎng)為1的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)D在邊AC上，與△ABC另兩邊分別交于點(diǎn)E、F，DE∥AB，將正方形平移，使點(diǎn)D保持在AC上（D不與A重合），設(shè)AF=x，正方形與△ABC重疊部分的面積為y．

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

(2)x為何值時(shí)y的值最大？

(3)x在哪個(gè)范圍取值時(shí)y的值隨x的增大而減��？

【答案】（1）y=；（2）；（3）

【解析】

試題（1）當(dāng)點(diǎn)D保持在AC上時(shí)，正方形與△ABC重疊部分為直角梯形DEBF，根據(jù)直角梯形的面積公式，只需用含x的代數(shù)式分別表示出上底DE、下底BF及高DF的長(zhǎng)度即可．由△ADF為等腰直角三角形，可得高DF=AF=x；則AD=x，下底BF=AB-AF=1-x；進(jìn)而得出CD=AC-AD=1-x，再根據(jù)等腰三角形及平行線的性質(zhì)可證∠C=∠CED，得出上底DE=CD1-x；根據(jù)點(diǎn)D保持在AC上，且D不與A重合，可知0＜AD≤1，從而求出自變量x的取值范圍；

（2）由（1）知，y是x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)x=-時(shí)，y的值最大；

（3）根據(jù)二次函數(shù)的增減性，當(dāng)a＜0時(shí)，在對(duì)稱軸x=-的右側(cè)，y的值隨x的增大而減�。�

試題解析：解：（1）∵∴

∵ DE∥AB

∴

∴

∴

在Rt△ADF中，

∵∴

∴

∴

∴

（2）當(dāng)時(shí)，有最大值

（3）當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組為了了解本校學(xué)生的年齡情況，隨機(jī)調(diào)查了該校部分學(xué)生的年齡，整理數(shù)據(jù)并繪制如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

依據(jù)以上信息解答以下問(wèn)題：

（1）求樣本容量；

（2）直接寫(xiě)出樣本容量的平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)；

（3）若該校一共有1800名學(xué)生，估計(jì)該校年齡在15歲及以上的學(xué)生人數(shù)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】小明為了檢驗(yàn)兩枚六個(gè)面分別刻有點(diǎn)數(shù)1、 2、3、4、5、6的正六面體骰子的質(zhì)量是否都合格，在相同的條件下，同時(shí)拋兩枚骰子20 00 0次，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩個(gè)朝上面的點(diǎn)數(shù)和是7的次數(shù)為20次．你認(rèn)為這兩枚骰子質(zhì)量是否都合格(合格標(biāo)準(zhǔn)為：在相同條件下拋骰子時(shí)，骰子各個(gè)面朝上的機(jī)會(huì)相等)？并說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A、C同時(shí)出發(fā)，相向而行，速度均為2cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤5）秒．

（1）若G、H分別是AB、DC的中點(diǎn)，且t≠2.5s，求證：以E、G、F、H為頂點(diǎn)的四邊形始終是平行四邊形；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)？以E、G、F、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形；

（3）若G、H分別是折線A-B-C，C-D-A上的動(dòng)點(diǎn)，分別從A、C開(kāi)始，與E．F相同的速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)t為何值時(shí)，以E、G、F、H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（4，4），拋物線y=a（x-m）2+n的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，與x軸交于C、D兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為-3，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一種單價(jià)為40元的足球，如果以單價(jià)50元售出，那么每月可售出500個(gè)，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少10個(gè).

（1）設(shè)銷售單價(jià)提高x元(x為正整數(shù))，寫(xiě)出每月銷售量y（個(gè)）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）假設(shè)這種籃足球每月的銷售利潤(rùn)為w元，試寫(xiě)出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并通過(guò)配方討論，當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月銷售這種足球的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少元？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，對(duì)稱軸為直線的拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，0）。

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）已知，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)。

①若點(diǎn)P在拋物線上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長(zhǎng)度的最大值。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：正方形折疊中的數(shù)學(xué)

已知正方形紙片ABCD中，AB=4，點(diǎn)E是AB邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，將正方形紙片沿CE所在直線折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′．

(1)如圖1，當(dāng)∠BCE=30°時(shí)，連接BG，B′G，求證：四邊形BEB′G是菱形；

深入探究：

(2)在CD邊上取點(diǎn)F，使DF=BE，點(diǎn)H是AF的中點(diǎn)，再將正方形紙片ABCD沿AF所在直線折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，順次連接B′，G，D′，H，B'，得到四邊形B′GD′H．

請(qǐng)你從A，B兩題中任選一題作答，我選擇　 　題．

A題：如圖2，當(dāng)點(diǎn)B'，D′均落在對(duì)角線AC上時(shí)，

①判斷B′G與D′H的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②直寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)H，G之間的距離．

B題：如圖3，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，MN∥BC交CD于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)B'，D′均落在MN上時(shí)，

①判斷B′G與D′H的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)H，G之間的距離．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，點(diǎn)D為AB邊上的一點(diǎn)，

（1）求證：△ACE≌△BCD；

（2）若DE=13，BD=12，求線段AB的長(zhǎng)．

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