Question

兩塊完全相同的直角三角板ABC和DEF如圖1所示放置，點C、F重合，且BC、DF在一條直線上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不動，讓Rt△DEF沿CB向左平移，直到點F和點B重合為止．設FC=x，兩個三角形重疊陰影部分的面積為y．
（1）如圖2，求當x=

1

2

時，y的值是多少？
（2）如圖3，當點E移動到AB上時，求x、y的值；
（3）求y與x之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析：（1）當x=

1

2

時，E在△ABC內部，設DE交AC于G，那么重合部分的面積就是梯形EGCF的面積，可在直角三角形DCG中，根據(jù)∠D的正切值求出CG的長，然后根據(jù)梯形的面積公式即可得出重合部分的面積即y的值．
（2）當E在AB上時，在直角三角形BEF中，根據(jù)∠B的正切值和EF的長求出BF的值，進而可求CF即x的值，求y值可仿照（1）的方法進行求解．
（3）本題要分兩種情況進行討論：
①當E在AB左側（包括E在AB上）時，重合部分是個梯形，其面積可參照（1）的方法進行求解．
②當E在AB右側時，重合部分是個五邊形，可用梯形EGCF的面積-△EHQ的面積（設EF交AB于Q，ED交AB于H）來求重合部分的面積，據(jù)此可得出y、x的函數(shù)關系式．

解答：
解：（1）如圖1：AB=DE=5，∵FC=x=

1

2

．∴DC=DF-FC=

7

2

．
∵tanD=

GC

DC

=

EF

DF

=

3

4

，∴GC=

21

8

．
∴y=

1

2

（EF+GC）•FC=

45

32

．

（2）當點E運動到AB上時，如圖2；
∵tanB=

EF

BF

=

AC

BC

=

4

3

，∴BF=

9

4

．
∴x=FC=BC-BF=

3

4

．
∵DC=DF-FC=

13

4

，

GC

DC

=

3

4

；
∴GC=

39

16

．
∴y=

1

2

（EF+GC）•FC=

261

128

．

（3）本題分兩種情況：
①當0＜x≤

3

4

時，如圖3；DC=4-x；
∵tanD=

GC

DC

=

EF

DF

=

3

4

，∴GC=3-

3

4

x．
∴y=

1

2

（EF+GC）•FC=-

3

8

x²+3x．
②當

3

4

＜x≤3時；如圖4；y=S_梯形EFCG-S_△EHQ．
由①知，梯形EFCG的面積為-

3

8

x²+3x．
∵tanB=

QF

BF

=

AC

CB

=

4

3

，BF=3-x，
∴QF=4-

4

3

x．
∴EQ=3-QF=

4

3

x-1．
∵S_△DEF=6，Rt△EHQ∽Rt△EFD．
∴S_△EHQ：S_△EFD=（EQ：ED）²；
∴S_△EHQ=

6

25

（

4

3

x-1）²；
∴y=S_梯形EFCG-S_△EHQ=-

3

8

x²+3x-

6

25

（

4

3

x-1）²=-

481

600

x²+

91

25

x-

6

25

．

點評：本題考查了直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的綜合應用等知識點．注意可用類比的方法求解多個類似題型．