Question

如圖，已知PA、PB都是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，且∠APB=60°．若點(diǎn)C是⊙O異于A、B的任意一點(diǎn)，則∠ACB=（　　）

• A、60°
• B、120°
• C、60°或120°
• D、不能確定

Answer 1

分析：分兩種情況：（1）當(dāng)C在優(yōu)弧AB上；（2）當(dāng)C在劣弧AB上；連接OA、OB，在四邊形PAOB中，∠OAP=∠OBP=90°，由內(nèi)角和求得∠AOB的大小，然后根據(jù)圓周角定理∠AOB=2∠ACB=120°．

解答：解：（1）如圖（1），連接OA、OB．
在四邊形PAOB中，由于PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，
則∠OAP=∠OBP=90°；
由四邊形的內(nèi)角和定理，知
∠APB+∠AOB=180°；
又∠APB=60°，
∴∠AOB=120°；
又∵∠ACB=

1

2

∠AOB（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），
∴∠ACB=60°；

（2）如圖（2），連接OA、OB，作圓周角∠ADB．
在四邊形PAOB中，由于PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，
則∠OAP=∠OBP=90°；
由四邊形的內(nèi)角和定理，知
∠APB+∠AOB=180°；
又∠APB=60°，
∴∠AOB=120°；
∴∠ADB=

1

2

∠AOB=60°，
∴∠ACB=180°-∠ADB=120°；
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)及圓周角定理及多邊形的內(nèi)角和定理．解答此題時(shí)，采用了“分類討論”數(shù)學(xué)思想，避免了漏解的現(xiàn)象．