Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，且AB=4，點(diǎn)C在半圓上，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)O，P為半圓上任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作PE⊥OC于點(diǎn)E，設(shè)△OPE的內(nèi)心為M，連接OM、PM．

（1）求∠OMP的度數(shù)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在半圓上從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求內(nèi)心M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）∠PMO=135°；（2）內(nèi)心M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為2πcm．

【解析】

（1）先判斷出∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，再用三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；

（2）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)M在扇形BOC和扇形AOC內(nèi)，先求出∠CMO=135°，進(jìn)而判斷出點(diǎn)M的軌跡，再求出∠OO'C=90°，最后用弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論．

（1）∵△OPE的內(nèi)心為M，

∴∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，

∴∠PMO=180°﹣∠MPO﹣∠MOP=180°﹣（∠EOP+∠OPE），

∵PE⊥OC，即∠PEO=90°，

∴∠PMO=180°﹣（∠EOP+∠OPE）=180°﹣（180°﹣90°）=135°；

（2）如圖，∵OP=OC，OM=OM，

而∠MOP=∠MOC，

∴△OPM≌△OCM，

∴∠CMO=∠PMO=135°，

所以點(diǎn)M在以OC為弦，并且所對(duì)的圓周角為135°的兩段劣弧上（和）；

點(diǎn)M在扇形BOC內(nèi)時(shí)，

過(guò)C、M、O三點(diǎn)作⊙O′，連O′C，O′O，

在優(yōu)弧CO取點(diǎn)D，連DA，DO，

∵∠CMO=135°，

∴∠CDO=180°﹣135°=45°，

∴∠CO′O=90°，而OA=4cm，

∴O′O=OC=×4=2，

∴弧OMC的長(zhǎng)==π（cm），

同理：點(diǎn)M在扇形AOC內(nèi)時(shí)，同①的方法得，弧ONC的長(zhǎng)為πcm，

所以內(nèi)心M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為2×π=2πcm．