Question

如圖，矩形紙片ABCD，AD=BC=3，AB=CD=9，在矩形ABCD的邊AB上取一點M，在CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK，以下命題：
①△MNK一定是等腰三角形；
②△MNK可能是鈍角三角形；
③△MNK有最小面積且等于4.5；
④△MNK有最大面積且7.5，
其中對△MNK的敘述正確的為______．

Answer 1

①如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1．
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN．
∴KN=KM，
∴△MNK是等腰三角形，故此選項正確；
②如圖3，△MNK可是鈍角三角形，故此選項正確；
③如圖1，當(dāng)KN=AD=3時，此時，△MNK面積最小，△MNK最小面積為：

1

2

×3×3=4.5，故此選項正確；
④分兩種情況：
情況一：如圖2，將矩形紙片對折，使點B與點D重合，此時點K也與點D重合．
設(shè)MK=MD=x，則AM=9-x，
在Rt△DAM中，由勾股定理，得x²=（9-x）²+3²，
解得，x=5．
即MD=ND=5，
故S_△MNK=S_梯形AMND-S_△ADM=9×3×

1

2

-4×3×

1

2

=7.5．
情況二：如圖3，將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕為AC．
設(shè)MK=AK=CK=x，則DK=9-x，
同理可得x²=（9-x）²+3²，
解得：x=5，
即MK=NK=5．
故S_△MNK=S_△DAC-S_△DAK=

1

2

×9×3-

1

2

×4×3=7.5，故此選項正確；
故答案為：①②③④．