Question

【題目】先閱讀下列材料，然后解決后面的問題．

材料：一個三位數(shù)（百位數(shù)為a，十位數(shù)為b，個位數(shù)為c），若a+c=b，則稱這個三整數(shù)為“協(xié)和數(shù)”，同時規(guī)定c=（k≠0），k稱為“協(xié)和系數(shù)”，如264，因?yàn)樗�的百位上�?shù)字2與個位數(shù)字4之和等于十位上的數(shù)字6，所有264是“協(xié)和數(shù)”，則“協(xié)和數(shù)”k=2×4=8．

（1）對于“協(xié)和數(shù)”，求證：“協(xié)和數(shù)”能被11整除．

（2）已知有兩個十位數(shù)相同的“協(xié)和數(shù)”，（a1＞a2），且k1﹣k2=1，若y=k1+k2，用含b的式子表示y．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）y==﹣1．

【解析】

（1）根據(jù)協(xié)和數(shù)的定義可得出a+c=b，由=100a+10b+c可得出=99a+11b，可證出“協(xié)和數(shù)”能被11整除；
（2）由已知可得k1﹣k2=a1b1﹣a2b2=a1（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=1，a1、a2、b均為整數(shù)，故a1﹣a2=1，b﹣a1﹣a2=1，可得a1+a2=b﹣1，所以a12﹣2a1a2+a22=1①，a12+2a1a2+a22=（b﹣1）2②，由①+②得：=，所以

y=k1+k2=a1b1+a2b2=a1（b﹣a1）+a2（b﹣a2）=b（a1+a2）﹣（）=b（b﹣1）﹣．

（1）證明：∵為“協(xié)和數(shù)”，

∴a+c=b，

∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b=11（9a+b），

∵a是整數(shù)，b是整數(shù)，

∴9a+b是整數(shù)，

∴“協(xié)和數(shù)”能被11整除；

（2）∵k1﹣k2=a1b1﹣a2b2=a1（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=1，a1、a2、b均為整數(shù)，

∴a1﹣a2=1，b﹣a1﹣a2=1，

∴a1+a2=b﹣1，

∴a12﹣2a1a2+a22=1①，a12+2a1a2+a22=（b﹣1）2②，

①+②得：=，/p>

y=k1+k2=a1b1+a2b2=a1（b﹣a1）+a2（b﹣a2）=+=b（a1+a2）﹣（）=b（b﹣1）﹣=﹣1．