Question

10．在四邊形ABCD中∠C=55°，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，當(dāng)△EAF周長最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（　�。�

• A． 55°
• B． 70°
• C． 125°
• D． 110°

Answer 1

分析 要使△AEF的周長最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=55°，進(jìn)而得出∠AEF+∠AFE=2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．

解答 解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，

∵∠C=55°，
∴∠DAB=125°，
∴∠HAA′=55°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=55°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=55°，
∴∠EAF=125°-55°=70°．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．