Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，四邊形OABC是正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，0）．將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，得到正方形ODEF，DE與邊BC交于點(diǎn)M，且點(diǎn)M與B、C不重合．
（1）請(qǐng)判斷線(xiàn)段CD與OM的位置關(guān)系，其位置關(guān)系是

 

；
（2）試用含m和α的代數(shù)式表示線(xiàn)段CM的長(zhǎng)：

 

；α的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：（1）連接CD，OM．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出MC=MD，OC=OD，再證明△COM≌△DOM，得出∠COM=∠DOM，然后根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)得出CD⊥OM；
（2）首先用含α的代數(shù)式表示∠COM，然后在Rt△COM中，根據(jù)正切函數(shù)的定義即可得出CM的長(zhǎng)度；由OD與OM不能重合，且只能在OC右邊，得出α的取值范圍．

解答：解：（1）連接CD，OM．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，MC=MD，OC=OD，又OM是公共邊，
∴△COM≌△DOM，
∴∠COM=∠DOM，
又∵OC=OD，
∴CD⊥OM；

（2）由（1）知∠COM=∠DOM，
∴∠COM=

90°-α

2

，
在Rt△COM中，CM=OC•tan∠COM=m•tan

90°-α

2

；
因?yàn)镺D與OM不能重合，且只能在OC右邊，故可得α的取值范圍是0°＜α＜90°．

點(diǎn)評(píng)：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)，注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．