Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c(a＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(12，0)和C(0，－6)，對(duì)稱(chēng)軸為x＝2．

(1)求該拋物線的解析式．

(2)點(diǎn)D在線段AB上且AD＝AC，若動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)是否存在某一時(shí)刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的時(shí)間t(秒)和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)在(2)的結(jié)論下，直線x＝1上是否存在點(diǎn)M，使△MPQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：∵拋物線 過(guò)C（6，0）

∴c=-6，即y=ax²+bx-6

由，解得：a=,b=-

∴拋物線解析式為y=x²－x－6

(2)存在，設(shè)直線DC垂直平分PQ

在Rt△AOC中，AC²8²＋6²=100, ∴AC＝10=AD

∴點(diǎn)D在對(duì)稱(chēng)軸上,連接DQ, 則∠PDC＝∠QDC

∵∠PDC＝∠ ACD

∴∠QDC＝∠ ACD∴DQ∥AC,BD＝AB－AD＝10

DQ為△ABC的中位線，∴DQ＝½AC＝5

AP=AD-PD=AD-DQ=5

∴t＝5/1＝5秒

∴存在t＝5秒時(shí)，直線DC垂直平分PQ

在Rt△BOC中,BC ² =6 ²＋12 ²，BC=6,∴CQ=3

∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3／5秒/單位長(zhǎng)度

（3）存在，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H,QH=3,PH=9

在Rt△PQH中,PQ=＝3

①當(dāng)MP=MQ時(shí)，設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b。k≠0

解得：，∴y=3x-6

當(dāng)x=1時(shí)，y=-3        ∴m₁(1,-3)

②當(dāng)PQ為等腰三角形△MPQ的腰時(shí)，且p為頂點(diǎn)

設(shè)直線x=1上存在點(diǎn)M(1,y),有勾股定理得

4x²+y²=90,y=±

∴M₃(1, )M₂(1, -)

③當(dāng)PQ為等腰三角形△MPQ的腰時(shí)，且Q為頂點(diǎn)

過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥Y軸于E,交直線x=1于F,則F﹙1,-3﹚

設(shè)直線x=1上存在點(diǎn)M(1,y),有勾股定理得

(y+3)²+5²=90,y=-3±

∴M₄ (1, )M₅ (1, -)

綜上所述：存在這樣的點(diǎn)：m₁(1,-3) M₃(1, )M₂(1, -)，M₄ (1, )M₅ (1, -)