Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為1，以AB為直徑作半圓，點P是CD中點，BP與半圓交于點Q，連結DQ，給出如下結論：①DQ=1；② = ；③S△PDQ= ；④cos∠ADQ= ，其中正確結論是（填寫序號）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：正確結論是①②④． 提示：①連接OQ，OD，如圖1．

易證四邊形DOBP是平行四邊形，從而可得DO∥BP．
結合OQ=OB，可證到∠AOD=∠QOD，從而證到△AOD≌△QOD，
則有DQ=DA=1．
故①正確；②連接AQ，如圖2．

則有CP= ，BP= = ．
易證Rt△AQB∽Rt△BCP，
運用相似三角形的性質可求得BQ= ，
則PQ= ﹣ = ，
∴ = ．
故②正確；③過點Q作QH⊥DC于H，如圖3．

易證△PHQ∽△PCB，
運用相似三角形的性質可求得QH= ，
∴S△DPQ= DPQH= × × = ．
故③錯誤；④過點Q作QN⊥AD于N，如圖4．

易得DP∥NQ∥AB，
根據(jù)平行線分線段成比例可得 = = ，
則有 = ，
解得：DN= ．
由DQ=1，得os∠ADQ= = ．
故④正確．
綜上所述：正確結論是①②④．
所以答案是：①②④．
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的判定與性質和平行線分線段成比例，掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例即可以解答此題．