Question

已知拋物線的函數(shù)解析式為y=ax²+bx-3a（b＜0），若這條拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，-3），方程ax²+bx-3a=0的兩根為x₁，x₂，且|x₁-x₂|=4．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）已知實(shí)數(shù)x＞0，請(qǐng)證明x+

1

x

≥2，并說明x為何值時(shí)才會(huì)有x+

1

x

=2．

Answer 1

分析：（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，需要先求出拋物線的解析式，即確定待定系數(shù)a、b的值．已知拋物線圖象與y軸交點(diǎn)，可確定解析式中的常數(shù)項(xiàng)（由此得到a的值）；然后從方程入手求b的值，題干給出了兩根差的絕對(duì)值，將其進(jìn)行適當(dāng)變形（轉(zhuǎn)化為兩根和、兩根積的形式），結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求出b的值．
（2）x•

1

x

=1，因此將x+

1

x

配成完全平方式，然后根據(jù)平方的非負(fù)性即可得證．

解答：解：（1）∵拋物線過（0，-3）點(diǎn)，∴-3a=-3∴a=1∴y=x²+bx-3
∵x²+bx-3=0的兩根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-b，x₁•x₂=-3
∵|x₁-x₂|=4
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=4
∴

b2+12

=4
∴b²=4
∵b＜0
∴b=-2
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）
（2）∵x＞0，
∴x+

1

x

-2=(

x

-

1

x

)2≥0
∴x+

1

x

≥2，顯然當(dāng)x=1時(shí)，才有x+

1

x

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題過程中完全平方式的變形被多次提及，應(yīng)熟練掌握并能靈活應(yīng)用．