Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在直線的下方.

（1）平移直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到直線，點(diǎn)為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)面積最大時(shí)，求的最小值.

（2）平移直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，得到直線，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且點(diǎn)橫坐標(biāo)為6，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，當(dāng)時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使四邊形是矩形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）的最小值為；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)列出函數(shù)關(guān)系式求出當(dāng)的面積有最大值時(shí)，，求出直線的解析式，過(guò)點(diǎn)作軸，易得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而可求出結(jié)論；

（2）過(guò)作軸，軸，易得且相似比為1：3.然后分點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)和點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)兩種情況求解即可.

（1）設(shè)，

，

當(dāng)時(shí)，的面積有最大值.

，

平移直線得到直線，且過(guò)點(diǎn)，

易得直線.

過(guò)點(diǎn)作軸，

易得，

，

，

.

由圖知，，，

當(dāng)軸時(shí)，，重合，

此時(shí)有最小值等.

的最小值為.

（2）過(guò)作軸，軸，

直線平移后過(guò)原點(diǎn)得到直線，

直線，代入.

點(diǎn)坐標(biāo)為，，.

，

易得且相似比為1：3.

如圖乙所示，

點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，設(shè)，則.

，

.

.

四邊形為矩形，

，，

，，

，.

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得，

，

解得：，（舍去）.

，

如圖丙所示：點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，設(shè)，

則.

，

.

.

四邊形為矩形，

，，

，，

，.

將點(diǎn)的坐標(biāo)代人拋物線的解析式得，

，

解得：（舍去）或.

.

綜上所述，

點(diǎn)的坐標(biāo)為或.