Question

7．如圖，在矩形ABCD中，BC=$\sqrt{3}$，AB=1，以BC為邊作等邊△BEC，CE，BE分別交AD于F，G兩點，連接AE，則△AEF的周長等于$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 由等邊三角形性質(zhì)得：EC=EB=BC=$\sqrt{3}$，∠ECB=60°，由矩形的四個角為直角得：∠DCF=90°-60°=30°，
根據(jù)30度角的正切得：tan30°=$\frac{DF}{DC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求DF的長，由30°角所對的直角邊是斜邊的一半求FC的長，所以可以依次求EF和AF的長，證明△EFA≌△DFC，則AE=DC=1，計算△AEF的周長即可．

解答 解：∵△BEC是等邊三角形，
∴EC=EB=BC=$\sqrt{3}$，∠ECB=60°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DCB=∠D=90°，
∴∠DCF=90°-60°=30°，
tan30°=$\frac{DF}{DC}$=$\frac{DF}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴FC=2DF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴EF=$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
AF=AD-DF=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴DF=EF，AF=FC，
∵∠EFA=∠DFC，
∴△EFA≌△DFC，
∴AE=DC=1，
∴△AEF的周長=AE+EF+AF=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=1+$\sqrt{3}$；
故答案為：$\sqrt{3}+1$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)，以等邊△BEC的性質(zhì)為突破口，依次得出邊和角的值，并利用全等三角形求出AE=CD是關(guān)鍵．