Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，請(qǐng)解決下列問題．

（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)為 點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ;
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），當(dāng)|PD﹣PC|最大時(shí)，求α的值并在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位置；
（3）在（2）的條件下，將△BCP沿x軸的正方向平移得到△B′C′P′，設(shè)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的橫坐標(biāo)為t（其中0＜t＜6），在運(yùn)動(dòng)過程中△B′C′P′與△BCD重疊部分的面積為S，求S與t之間的關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)S最大，最大值為多少？

Answer 1

【答案】
（1）（0，3）；（1，4）
（2）

∵在三角形中兩邊之差小于第三邊，

∴延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)P，

設(shè)直線DC的解析式為y=kx+b，把D、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，

∴直線DC的解析式為y=x+3，

將點(diǎn)P的坐標(biāo)（a，0）代入得a+3=0，求得a=﹣3，

如圖1，點(diǎn)P（﹣3，0）即為所求；

（3）

過點(diǎn)C作CE∥x，交直線BD于點(diǎn)E，如圖2，

由（2）得直線DC的解析式為y=x+3，

由法可求得直線BD的解析式為y=﹣2x+6，直線BC的解析式為y=﹣x+3，

在y=﹣2x+6中，當(dāng)y=3時(shí)，x=，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，3），

設(shè)直線P′C′與直線BC交于點(diǎn)M，

∵P′C′∥DC，P′C′與y軸交于點(diǎn)（0，3﹣t），

∴直線P′C′的解析式為y=x+3﹣t，

聯(lián)立，解得，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（，），

∵B′C′∥BC，B′坐標(biāo)為（3+t，0），

∴直線B′C′的解析式為y=﹣x+3+t，

分兩種情況討論：

①當(dāng)0＜t＜時(shí)，如圖2，B′C′與BD交于點(diǎn)N，

聯(lián)立，解得，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（3﹣t，2t），

S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′=×6×3﹣（6﹣t）×（6﹣t）﹣t×2t=﹣t2+3t，

其對(duì)稱軸為t=，可知當(dāng)0＜t＜時(shí)，S隨t的增大而增大，當(dāng)t=時(shí)，有最大值；

②當(dāng)≤t＜6時(shí)，如圖3，直線P′C′與DB交于點(diǎn)N，

聯(lián)立，解得，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

S=S△BNP′﹣S△BMP′=（6﹣t）×﹣×（6﹣t）×=（6﹣t）2=t2﹣t+3；

顯然當(dāng)＜t＜6時(shí)，S隨t的增大而減小，當(dāng)t=時(shí)，S=

綜上所述，S與t之間的關(guān)系式為S=，且當(dāng)t=時(shí)，S有最大值，最大值為．

【解析】（1）根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)求法和頂點(diǎn)坐標(biāo)求法計(jì)算即可；
（2）求|PD﹣PC|的值最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，應(yīng)延長(zhǎng)CD交x軸于點(diǎn)P．因?yàn)閨PD﹣PC|小于或等于第三邊CD，所以當(dāng)|PC﹣PD|等于CD時(shí)，|PC﹣PD|的值最大．因此求出過CD兩點(diǎn)的解析式，求它與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）過C點(diǎn)作CE∥x軸，交DB于點(diǎn)E，求出直線BD的解析式，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出P′C′與BC的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，分點(diǎn)C′在線段CE上和在線段CE的延長(zhǎng)線上兩種情況，再分別求得N點(diǎn)坐標(biāo)，再利用圖形的面積的差，可表示出S，再求得其最大值即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．