【題目】如圖,在平面直角坐標系中.直線y=﹣x+3與x軸交于點B,與y軸交于點C,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過B,C兩點,與x軸負半軸交于點A,連結(jié)AC,A(-1,0)

(1)求拋物線的解析式;

(2)點P(m,n)是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點,求四邊形OCPB面積S關(guān)于m的函數(shù)表達式及S的最大值;

(3)若M為拋物線的頂點,點Q在直線BC上,點N在直線BM上,Q,M,N三點構(gòu)成以MN為底邊的等腰直角三角形,求點N的坐標.

【答案】1y==x2+2x+3;(2S=m2+,當m=時,S有最大值是;(3)點N的坐標為(2,2)或(﹣1,8

【解析】試題分析:1)先根據(jù)直線BC的解析式求出點BC的坐標,再利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式;

2)作高線PE,利用面積和求四邊形OCPB面積S,并配方成頂點式,求其最值;

3)先將拋物線配方成頂點式求M1,4),利用待定系數(shù)法求直線MB的解析式,利用解析式分別表示N、Q兩點的坐標;

分兩種情況:①當N在射線MB上時,如圖2,

QEFy軸,分別過MNx軸的平行線,交EFEF,證明EMQ≌△FQN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)EM=FQ,EQ=FN,列方程組解出即可;

②當N在射線BM上時,如圖3,同理可求得點N的坐標.

試題解析:(1∵直線y=﹣x+3x軸交于點B,與y軸交于點C

∴當x=0時,y=3

C0,3),

OC=3,

y=0時,-x+3=0

x=3,

B30),

設(shè)拋物線的解析式為:y=ax+1)(x-3),

C0,3)代入得:3=a0+1)(0-3),

a=-1

y=-x+1)(x-3=-x2+2x+3;

2)如圖1,過PPEx軸于E,

Pm,n),

OE=m,BE=3-mPE=n,

S=S梯形COEP+SPEB=OEPE+OC+BEPE,

=mn+3+n3-m),

=m+n

n=-m2+2m+3,

S=m+-m2+2m+3=-m2+m+=-m-2+

m=時,S有最大值是

3y=-x2+2x+3=-x-12+4,

M14),

設(shè)直線BM的解析式為:y=kx+b,

B30),M14)代入得: ,解得:

∴直線BM的解析式為:y=-2x+6,

設(shè)Na-2a+6),Qn-n+3),

分兩種情況:

①當N在射線MB上時,如圖2,

QEFy軸,分別過M、Nx軸的平行線,交EFE、F

∵△EQN是等腰直角三角形,

MQ=QN,MQN=90°

∴∠EQM+FQN=90°

∵∠EQM+EMQ=90°,

∴∠FQN=EMQ

∵∠QEM=QFN=90°,

∴△EMQ≌△FQN

EM=FQ,EQ=FN,

解得:

a=2時,y=-2a+6=-2×2+6=2,

N2,2),

②當N在射線BM上時,如圖3,

同理作輔助線,得ENQ≌△FQM

EN=FQEQ=FM,

,解得:

N-1,8),

綜上所述,點N的坐標為(22)或(-1,8).

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(1)當銷售價為每件80元時,一周能銷售多少件?答:_____________件.

(2)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍.

(3)設(shè)一周的銷售利潤為w,寫出w與x的函數(shù)關(guān)系式.

(4)在超市對該種商品投入不超過18000元的情況下,使得一周銷售利潤達到8000元,銷售單價應(yīng)定為多少?

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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(參考數(shù)據(jù):sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,≈1.41,≈1.73,≈2.24)

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1)如圖1,當點R與點D重合時,求PQ的長;

2)如圖2,試探索: 的比值是否隨點Q的運動而發(fā)生變化?若有變化,請說明你的理由;若沒有變化,請求出它的比值;

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A.①②B.①③C.①④D.②④

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