Question

1與0交替排列，組成下面形式的一串?dāng)?shù)101，10101，1010101，101010101，…
請(qǐng)你回答：在這串?dāng)?shù)中有多少個(gè)質(zhì)數(shù)？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

顯然101是質(zhì)數(shù)，假設(shè)有n個(gè)1的數(shù)為An，首先A₁是一個(gè)質(zhì)數(shù)，
當(dāng)n≥2時(shí)An均為合數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，顯然An能被101整除，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，An×11=111…1（共2n個(gè)1），再將它乘以9得999…9（共2n個(gè)9），即10²ⁿ-1，即An=

102n-1

99

，
即An=

(10n+1)(10n-1)

99

=[

(10n+1)

11

]×[

10n-1

9

]，
設(shè)

(10n+1)

11

=a，

10n-1

9

=b，顯然b是整數(shù)，
而一個(gè)數(shù)被11整除的充要條件是奇偶位和的差能被11整除，
而10ⁿ+1的奇數(shù)位和為1，偶數(shù)位和也為1，所以能被11整除，
所以a也是一個(gè)不為1的整數(shù)，所以An不是質(zhì)數(shù)，所以這串?dāng)?shù)中有101一個(gè)質(zhì)數(shù)．
故答案為：1．