【題目】如圖,菱形ABCD的邊AD⊥y軸,垂足為點E,頂點A在第二象限,頂點B在y軸的正半軸上,反比例函數(shù)y=(k≠0,x>0)的圖象同時經(jīng)過頂點C,D.若點C的橫坐標(biāo)為5,BE=3DE
(1)求出k值.
(2)求出△OCD的面積
(3)試探究坐標(biāo)軸上是否存在點P,使得△PCD的面積等于菱形ABCD的面積的一半,如果存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);如不存在,請說明理由.
【答案】(1)k=;(2)9;(3)存在,P(0,)或(1,0)
【解析】
(1)由已知,可得菱形邊長為5,作DF⊥BC,設(shè)出點D坐標(biāo),即可用勾股定理構(gòu)造方程,進(jìn)而求出k值;
(2)連接OD、OC,構(gòu)造矩形OEGH,利用矩形的面積減去三個小三角形的面積,即可得到答案;
(3)先求出菱形的面積,然后得到△PCD的面積,然后分成兩種情況討論,分別作出圖形,求出點P的坐標(biāo)即可.
解:(1)過點D作DF⊥BC于F,
由已知,BC=5,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴DC=5,
∵BE=3DE,
∴設(shè)DE=x,則BE=3x,
∴DF=3x,BF=x,FC=5﹣x,
在Rt△DFC中,DF2+FC2=DC2
∴(3x)2+(5﹣x)2=52
∴解得:x=1;
∴DE=1,FD=3,
設(shè)OB=a
則點D坐標(biāo)為(1,a+3),點C坐標(biāo)為(5,a),
∵點D、C在雙曲線上,
∴1×(a+3)=5a,
∴a=,
∴點C坐標(biāo)為(5,),點D坐標(biāo)為(1,),
∴k=;
(2)連接OD、OC,構(gòu)造矩形OEGH,如圖:
由(1)知,點C坐標(biāo)為(5,),點D坐標(biāo)為(1,),
∴OE=,DE=1,DG=4,CG=3,CH=,OH=5,
∴;
(3)存在;
①當(dāng)點P與點B重合時,如圖,連接PD;
∵PD是菱形的對角線,
∴,
∴點P的坐標(biāo)為:(0,);
②如圖,過點D作DP⊥x軸,交BC于點F,
由(1)可知,,
∵DP=,,
∴,
∴,
∴點P的坐標(biāo)為:(1,0);
綜合上述,P的坐標(biāo)為(0,),(1,0).
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【題目】如圖,是的直徑,點為上一點,點是半徑上一動點(不與,重合),過點作射線,分別交弦,于,兩點,在射線上取點,使.
(1)求證:是的切線;
(2)當(dāng)點是的中點時,
①若,判斷以,,,為頂點的四邊形是什么特殊四邊形,并說明理由;
②若,且,求的長.
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【題目】如圖1,在矩形ABCD中,點P是BC邊上一點,連接AP交對角線BD于點E,.作線段AP的中垂線MN分別交線段DC,DB,AP,AB于點M,G,F,N.
(1)求證:;
(2)若,求.
(3)如圖2,在(2)的條件下,連接CF,求的值.
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【題目】如圖,已知反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過第一象限內(nèi)的一點A(n,4),過點A作AB⊥x軸于點B,且△AOB的面積為2.
(1)求m和n的值;
(2)若一次函數(shù)y=kx+2的圖象經(jīng)過點A,并且與x軸相交于點C,求線段AC的長.
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【題目】如圖,⊙O的半徑為,四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接矩形,AD=6,M為DC中點,E為⊙O上的一個動點,連結(jié)DE,作DF⊥DE交射線EA于F,連結(jié)MF,則MF的最大值為_____.
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【題目】已知: 是的兩條弦,于點,的平分線交于點,交于點,連接
如圖1,求的度數(shù);
如圖2,為上一點,連接,當(dāng)時,求證:
如圖3 ,在的條件下,當(dāng)為的直徑時,經(jīng)過點的弦交于點,若的面積為,求線段的長.
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【題目】如圖,菱形ABCD的對角線AC和BD交于點O,分別過點C、D作CE∥BD,DE∥AC,CE和DE交于點E.
(1)求證:四邊形ODEC是矩形;
(2)當(dāng)∠ADB=60°,AD=2時,求sin∠AED的值,求∠EAD的正切值.
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【題目】本學(xué)期,大興區(qū)開展了“恰同學(xué)少年,品詩詞美韻”中華傳統(tǒng)詩詞大賽活動小江統(tǒng)計了班級30名同學(xué)四月份的詩詞背誦數(shù)量,具體數(shù)據(jù)如表所示:
詩詞數(shù)量首 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
人數(shù) | 3 | 4 | 4 | 5 | 7 | 5 | 1 | 1 |
那么這30名同學(xué)四月份詩詞背誦數(shù)量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是
A. 11,7 B. 7,5 C. 8,8 D. 8,7
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