Question

9、能夠找到這樣的四個(gè)正整數(shù)，使得它們中任兩個(gè)數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)嗎？若能夠，請(qǐng)舉出一例；若不能夠；請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)偶數(shù)的平方和為偶數(shù)，奇數(shù)得平方和為奇數(shù)，即可討論這四個(gè)數(shù)的奇偶性，再討論三個(gè)奇數(shù)的性質(zhì)，即可求得其中結(jié)論矛盾，即可求得不能找到這樣的四個(gè)正整數(shù)，使得它們中任兩個(gè)數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)，即可解題．

解答：解：偶數(shù)的平方能被4整除，奇數(shù)的平方被4除余1，即正整數(shù)的平方被4除余0或1．
若存在正整數(shù)滿足n_in_j+2002=m²；i，j=1，2，3，4，n是正整數(shù)；
∵2002被4除余2，
∴n_in_j被4除應(yīng)余2或3．
（1）若正整數(shù)n₁，n₂，n₃，n₄中有兩個(gè)是偶數(shù)，
設(shè)n₁，n₂是偶數(shù)，則n₁n₂+2002被4除余2，與正整數(shù)的平方被4除余0或1不符，
故正整數(shù)n₁，n₂，n₃，n₄中至多有-個(gè)是偶數(shù)，至少有三個(gè)是奇數(shù)．
（2）在這三個(gè)奇數(shù)中，被4除的余數(shù)可分為余1或3兩類，
根據(jù)抽屜原則，必有兩個(gè)奇數(shù)屬于同一類，
則它們的乘積被4除余1，與n_in_j被4除余2或3的結(jié)論矛盾．
綜上所述，不能找到這樣的四個(gè)正整數(shù)，使得它們中任兩個(gè)數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇數(shù)、偶數(shù)的性質(zhì)，考查了完全平方數(shù)的性質(zhì)，本題中討論四個(gè)數(shù)的奇偶性是解題的關(guān)鍵．