Question

（10分）如圖，已知直角梯形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，AB＝5，BC＝6，∠B＝53°．點O為BC邊上的一個點，連結OD，以O為圓心，BO為半徑的⊙O分別交邊AB于點P，交線段OD于點M，交射線BC于點N，連結MN．

（1）當BO＝AD時，求BP的長；
（2）在點O運動的過程中，線段 BP與MN能否相等？若能，請求出當BO為多長時BP＝MN；若不能，請說明理由；
（3）在點O運動的過程中，以點C為圓心，CN為半徑作⊙C，請直接寫出當⊙C存在時，⊙O與⊙C的位置關系，以及相應的⊙C半徑CN的取值范圍.
(參考數據：cos53°≈0．6；sin53°≈0．8；tan74°3.5)

Answer 1

解：（1）∵AD//BC,BO=AD
∴四邊形AB0D為平行四邊形-------------------------------------------------------------------------1分
∴AB//OD,∠COD=∠ABO=53°，DO=AB=5
在RtOCD中， , BO=BC-CO=3.-----------------2分
在RtPOB中，BO=PO, ∴BP=-------------------------------------------3分
（2）不存在.---------------------------------------------------------------4分
如圖,過A點作AE⊥BC交BC于E點.若BP = MN，則△BOP≌△MON--------------------------------5分 

∴∠BOP=∠MON=180°- 2∠B = 74°
DC=AE= -------------------------------------------------------------------------6分
在RtOCD中，.    BO=BC-CO= 
在△POB中,BP= 
因為AB=5,所以BP>AB.
又因為P點在邊AB上，即BP＜AB.
所以BP與MN不可能相等.--------------------------------------------------------------------------- 8分
（3）當⊙O與⊙C外切，CN 取值范圍為 0< CN < 6 ------------ 9分
當⊙O與⊙C內切，CN 取值范圍為 ------------- 10分

略