Question

【題目】已知線段AB=(為常數)，點C為直線AB上一點，點P、Q分別在線段BC、AC上，且滿足CQ=2AQ，CP=2BP.

(1)如圖，當點C恰好在線段AB中點時，則PQ=_______(用含的代數式表示)；

(2)若點C為直線AB上任一點，則PQ長度是否為常數?若是，請求出這個常數；若不是，請說明理由；

(3)若點C在點A左側，同時點P在線段AB上(不與端點重合)，請判斷2AP+CQ-2PQ與1的大小關系，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）2AP+CQ-2PQ＜1

【解析】

（1）設AQ=x，BP=y，則CQ=2x，CP=2y．由AB=AQ+CQ+CP+PB= m，得到x+y=，由PQ=QC+CP=2x+2y即可得到結論；

（2）分五種情況討論：①若C在線段AB上；②若C在A的左邊；③若C在B的右邊；④若B與C重合，⑤若A與C重合．

（3）設AQ=x，BP=y，則CQ=2x，CP=2y．根據（2）得到PQ=，AP=PQ－AQ=．

代入2AP+CQ-2PQ即可得到結論．

（1）設AQ=x，BP=y，則CQ=2x，CP=2y．

∵AB=AQ+CQ+CP+PB= m，∴x+2x+2y+y=m，∴x+y=，PQ=QC+CP=2x+2y=2(x+y)=．

（2）分五種情況討論：

①若C在線段AB上，由（1）可得：PQ=．

②若C在A的左邊，如圖1．

設AQ=x，BP=y，則CQ=2x，CP=2y．

∵AB=CB－CA= (CP+PB)－（CQ+AQ）=m，∴（2y+y）－（x+2x）=m，∴y－x=，PQ=CP－CQ=2y－2x=2(y－x)=．

③若C在B的右邊，如圖2．

設AQ=x，BP=y，則CQ=2x，CP=2y．

∵AB=CA－CB= （CQ+AQ）－(CP+PB) =m，∴（2x+x）－（2y+y）=m，∴x－y=，PQ= CQ －CP=2x－2y=2(x－y)=．

④若B與C重合，則P與B也重合，如圖3．

設AQ=x，則CQ=BQ=2x，CP=2BP=0，∴PQ=BQ=2x，AB=3x=m，∴PQ=．

⑤若A與C重合，則Q與A也重合，如圖4．

設BP=y，則CQ=AQ=0，CP=2BP=2y，∴PQ=CP=2y，AB=3y=m，∴PQ=．

綜上所述：點C為直線AB上任一點，則PQ長度為常數．

（3）如圖1．設AQ=x，BP=y，則CQ=2x，CP=2y．PQ=CP－CQ=2y－2x=2(y－x)=．

AP=PQ－AQ=．2AP+CQ-2PQ==0，∴2AP+CQ-2PQ＜1．