Question

【題目】對(duì)于給定的兩個(gè)“函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x<1時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)x≥1時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函數(shù).例如：一次函數(shù)y=x-4，它的相關(guān)函數(shù)為.

(1)一次函數(shù)y= -x+5的相關(guān)函數(shù)為______________.

(2)已知點(diǎn)A(b-1，4)，點(diǎn)B坐標(biāo)(b+3，4)，函數(shù)y=3x-2的相關(guān)函數(shù)與線段AB有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍.

(3)當(dāng)b+1≤x≤b+2時(shí)，函數(shù)y=-3x+b-2的相關(guān)函數(shù)的最小值為3，求b的值.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當(dāng)x＜1時(shí)，≤b≤；當(dāng)x≥1時(shí)，≤b≤；

（3）當(dāng)x＜1時(shí)，b=-1; 當(dāng)x≥1時(shí)，b=-

【解析】

（1）根據(jù)相關(guān)函數(shù)的概念可直接得出答案；

（2）由A(b-1，4)，B(b+3，4)得到線段AB在直線y=4上，再求出y=3x-2的兩個(gè)相關(guān)函數(shù)的圖象與直線y=4的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到不等式，解不等式即可得出b的取值范圍.

（3）分兩種情況，當(dāng)x＜1時(shí)，y=-3x+b-2的相關(guān)函數(shù)是y=3x+2-b，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)x=b+1時(shí)，y有最小值為3，列出方程求解即可得出b值；同理，當(dāng)x≥1時(shí)，y=-3x+b-2的相關(guān)函數(shù)是y=-3x+b-2, 由函數(shù)性質(zhì)列出方程可得出b值.

解：（1）根據(jù)相關(guān)函數(shù)的概念可得，一次函數(shù)y= -x+5的相關(guān)函數(shù)為；

（2）∵A(b-1，4)，B(b+3，4)，

∴線段AB在直線y=4上，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，

當(dāng)x＜1時(shí)，y=3x-2的相關(guān)函數(shù)是y=2-3x，

把y=4代入y=2-3x，得2-3x=4,解得x=-

∴直線y=4與直線y=2-3x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x=-，

∴b-1≤-≤b+3

解得≤b≤

當(dāng)x≥1時(shí)，y=3x-2的相關(guān)函數(shù)是y=3x-2，

把y=4代入y=3x-2，得3x-2=4,解得x=2

∴直線y=4與直線y=3x-2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x=2，

∴b-1≤2≤b+3

解得≤b≤

綜上所述，當(dāng)x＜1時(shí)，≤b≤；當(dāng)x≥1時(shí)，≤b≤.

（3）當(dāng)x＜1時(shí)，y=-3x+b-2的相關(guān)函數(shù)是y=3x+2-b，

∵k=3＞0，y隨x的增大而增大，

∵b+1≤x≤b+2

∴當(dāng)x=b+1時(shí)，y有最小值為3

∴3（b+1）+2-b=3

解得b=-1;

當(dāng)x≥1時(shí)，y=-3x+b-2的相關(guān)函數(shù)是y=-3x+b-2,

∵k=-3＜0，y隨x的增大而減小，

∵b+1≤x≤b+2

∴當(dāng)x=b+2時(shí)，y有最小值為3

∴-3（b+2）+b-2=3

解得b=-

綜上，當(dāng)x＜1時(shí)，b=-1; 當(dāng)x≥1時(shí)，b=-.