Question

9．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-1）三點(diǎn)，D（1，m）是一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)△ACD的周長最小時(shí)，△ABD的面積為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{8}{3}$

Answer 1

分析 先根據(jù)△ACD的周長最小，求出點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對稱的點(diǎn)E的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線AE的解析式，并把D（1，m）代入，求得D的坐標(biāo)，最后計(jì)算，△ABD的面積．

解答 解：由題可得，點(diǎn)C關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-1），
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{-1=2k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
將D（1，m）代入，得
m=-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$=-$\frac{2}{3}$，
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-$\frac{2}{3}$），
∴當(dāng)△ACD的周長最小時(shí)，△ABD的面積=$\frac{1}{2}$×AB×|-$\frac{2}{3}$|=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$．
故選（C）

點(diǎn)評 本題屬于最短路線問題，主要考查了軸對稱性質(zhì)的運(yùn)用以及待定系數(shù)法的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短這一基本事實(shí)．