Question

如圖1和圖2，∠ACB=90°，AC=BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分別為D、E．
（1）圖1中，①證明：△ACE∽△CBD； ②若AE=a，BD=b，計算△ACB的面積．
（2）圖2中，若AE=a，BD=b，（b＞a）計算梯形ADBE的面積．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)∠ACB=90°得出∠ACE+∠BCD=90°，以及∠ACE+∠CAE=90°，即可得出∠CAE=∠BCD，進(jìn)而得出△ACE∽△CBD；
②利用△ACE∽△CBD，AC=BC，得出△ACE≌△CBD，再利用△ACB的面積=梯形AEDB面積-△ACE面積-△CBD的面積，求出即可；
（2）根據(jù)三角形的判定得出△ACE≌△CBD，進(jìn)而得出DE=CE-CD=b-a，即可求出梯形ADBE的面積．

解答：（1）①證明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=180°-90°=90°，
∵BD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠E=∠D=90°，在△ACE中，
∠ACE+∠CAE=180°-∠E=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
∴△ACE∽△CBD；
②解：∵△ACE∽△CBD；
AC=BC，
∴△ACE≌△CBD，
∵AE=a，BD=b，
∴CE=b，CD=a，
∵ED為梯形AEDB的高，
∴△ACB的面積=梯形AEDB面積-△ACE面積-△CBD的面積，
=

AE+BD

2

×DE-

1

2

AE×EC-

1

2

BD×DC，
=

a+b

2

×（a+b）-

1

2

ab-

1

2

ab，
=

1

2

（a²+b²），

（2）解：∵△ACE≌△CBD（已證），
∴CD=AE，CE=BD，
∵AE=a，BD=b，
∴CE=b，CD=a，
∴DE=CE-CD=b-a，
∴梯形ADBE面積=

AE+BD

2

×DE，
=

a+b

2

×（b-a），
=

b2-a2

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和梯形面積求法等知識，相似三角形以及全等三角形的應(yīng)用經(jīng)常與梯形知識綜合考查，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握．