Question

【題目】如圖，直線y=x+8與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位速度沿射線AO勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）用t的代數(shù)式表示AP= ，AQ=

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥OB？

（3）若點(diǎn)C為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在t值，使得以A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．

【解析】

（1）根據(jù)題意，先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，得到AB的長(zhǎng)度，根據(jù)路程=速度時(shí)間，即可表示出AP和BQ；

（2）由（1）可知AP和AQ，然后利用平行線分線段成比例，即可求出t的值；

（3）分三種情形列出方程求解：①當(dāng)，作，，可得菱形；②當(dāng)時(shí)，作，，可得菱形；③當(dāng)時(shí)，作，，可得菱形；分別求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可.

解：（1）根據(jù)題意，令，則，解得；

令時(shí)，，

∴，，

∴點(diǎn)，；

在中，由勾股定理得，，

∵點(diǎn)的速度是每秒2個(gè)單位，點(diǎn)的速度是每秒1個(gè)單位，

∴，，

故答案為：，；

（2）若，如圖：

∴，

∵，

∴，解得：；

（3）①如圖中，當(dāng)，作，，可得菱形．

∵，

∴，

∴．

設(shè)點(diǎn)Q為（，），

∴，

解得：，

∴，

∴此時(shí)；

②如圖中，當(dāng)時(shí)，作，，可得菱形，連接交于．

∵四邊形是菱形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴．

與①同理可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，

∴此時(shí)．

③如圖中，當(dāng)時(shí)，作，，可得菱形，連接交于．

∵四邊形是菱形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴．

與①同理可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，

∴此時(shí)．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，．