【題目】已知拋物線y=ax2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1).
(1)求這個(gè)函數(shù)的解析式;
(2)畫出函數(shù)的圖像,寫出拋物線上點(diǎn)A關(guān)于y 軸的對(duì)稱點(diǎn)B 的坐標(biāo);
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)C,使△ABC的面積等于△OAB面積的一半,若存在,求出C點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=x2;(2)B的坐標(biāo)為(-2,1);(3)C(,)或(,)或(,)或(,),使△ABC的面積等于△OAB面積的一半,見(jiàn)解析.
【解析】
(1)把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解即可得到a的值,從而得解;
(2)根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo),橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相同解答;
(3)根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)C到AB的距離,再分①點(diǎn)C在AB下面,②點(diǎn)C在AB的上面兩種情況求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo),然后代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo),即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo).
解:(1))∵拋物線y=ax2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1),
∴4a=1,解得a=,
∴這個(gè)函數(shù)的解析式為y=x2;
(2)∵點(diǎn)A(2,1),關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo),橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相同,
∴點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,1);
(3)如圖:
∵點(diǎn)A(2,1),B(-2,1),
∴AB=2-(-2)=2+2=4,S△OAB=×4×1=2,
假設(shè)存在點(diǎn)C,且點(diǎn)C到AB的距離為h,
則S△ABC=ABh=×4h,
∵△ABC的面積等于△OAB面積的一半,
∴×4h=×2,解得h=,
①當(dāng)點(diǎn)C在AB下面時(shí),點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為,
此時(shí),解得,,
則此時(shí)C的坐標(biāo)為(,)或(,),
②點(diǎn)C在AB的上面時(shí),點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為,
此時(shí),解得,,
則此時(shí)C的坐標(biāo)為(,)或(,),
綜上,存在點(diǎn)C(,)或(,)或(,)或(,),使△ABC的面積等于△OAB面積的一半.
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【題目】如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形AB1C1D1,邊B1C1與CD交于點(diǎn)O,則四邊形AB1OD的面積是(____)
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【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx﹣3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,C,已知點(diǎn)A(﹣1,0),點(diǎn)B(3,0)
(1)求拋物線的解析式
(2)點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn),DE⊥x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)N是線段DE上一動(dòng)點(diǎn)
①當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí),△CAN的周長(zhǎng)最。
②若點(diǎn)M(m,0)是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且∠MNC=90°,求m的取值范圍.
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【題目】在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它們除顏色外都相同),現(xiàn)隨機(jī)從中摸出10枚記下顏色后放回,這樣連續(xù)做了10次,記錄了如下的數(shù)據(jù):
根據(jù)以上數(shù)據(jù),估算袋中的白棋子數(shù)量為( 。
A. 60枚B. 50枚C. 40枚D. 30枚
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【題目】如圖,正方形BEFG的邊BG在正方形ABCD的邊BC上,連結(jié)AG,EC.
(1)說(shuō)出AG與CE的大小關(guān)系;
(2)圖中是否存在通過(guò)旋轉(zhuǎn)能夠相互重合的兩個(gè)三角形?若存在,請(qǐng)?jiān)敿?xì)寫出旋轉(zhuǎn)過(guò)程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)請(qǐng)你延長(zhǎng)AG交CE于點(diǎn)M,判斷AM與CE的位置關(guān)系?并說(shuō)明理由.
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【題目】已知拋物線p: 的頂點(diǎn)為C,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′,我們稱以A為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)C′,對(duì)稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢(mèng)之星”拋物線,直線AC′為拋物線p的“夢(mèng)之星”直線.若一條拋物線的“夢(mèng)之星”拋物線和“夢(mèng)之星”直線分別是和y=2x+2,則這條拋物線的解析式為____________________.
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【題目】如圖1,在△ABC中,在BC邊上取一點(diǎn)P,在AC邊上取一點(diǎn)D,連AP、PD,如果△APD是等腰三角形且△ABP與△CDP相似,我們稱△APD是AC邊上的“等腰鄰相似三角形”.
(1)如圖2,在△ABC中AB=AC,∠B=50°,△APD是AB邊上的“等腰鄰相似三角形”,且AD=DP,∠PAC=∠BPD,則∠PAC的度數(shù)是___;
(2)如圖3,在△ABC中,∠A=2∠C,在AC邊上至少存在一個(gè)“等腰鄰相似△APD”,請(qǐng)畫出一個(gè)AC邊上的“等腰鄰相似△APD”,并說(shuō)明理由;
(3)如圖4,在Rt△ABC中AB=AC=2,△APD是AB邊上的“等腰鄰相似三角形”,請(qǐng)寫出AD長(zhǎng)度的所有可能值.
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【題目】如圖,直線的解析式是,直線的解析式是,點(diǎn)在上,的橫坐標(biāo)為,作交于點(diǎn),點(diǎn)在上,以,為鄰邊在直線,間作菱形,分別以點(diǎn),為圓心,以為半徑畫弧得扇形和扇形,記扇形與扇形重疊部分的面積為;延長(zhǎng)交于點(diǎn),點(diǎn)在上,以,為鄰邊在,間作菱形,分別以點(diǎn),為圓心,以為半徑畫弧得扇形和扇形,記扇形與扇形重疊部分的面積為按照此規(guī)律繼續(xù)作下去,則__.(用含有正整數(shù)的式子表示)
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【題目】如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)在BD上,BE=DF.
(1)求證:AE=CF;
(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面積.
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