Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)的直線EG交AB于點(diǎn)E，交AB的平行線CG于點(diǎn)G，DF⊥EG，交AC于點(diǎn)F．

（1）求證：BE=CG；

（2）判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）BE+CF＞EF；理由見(jiàn)解析；

【解析】

（1）利用ASA證明△BED≌△CGD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）BE+CF＞EF．連接FG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得GD=ED，BE=CG．又因DF⊥EG，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得EF=FG．在△FCG中，由三角形的三邊關(guān)系可得CF+CG＞FG，即可證得結(jié)論．

證明：（1）∵AB∥GC，

∴∠EBD=∠GCD．

∵D為BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD

在△BED與△CGD中，

∴△BED≌△CGD（ASA）．

∴BE=CG．

（2）BE+CF＞EF．

連接FG，

∵△BED≌△CGD，

∴GD=ED，BE=CG．

又∵DF⊥EG，

∴EF=FG．

∴在△FCG中，CF+CG＞FG，

即BE+CF＞EF．