(2010•海滄區(qū)質(zhì)檢)在△ABC中,∠ACB為銳角,動點D(異于點B)在射線BC上,連接AD,以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF,連接CF.
(1)若AB=AC,∠BAC=90°那么
①如圖一,當(dāng)點D在線段BC上時,線段CF與BD之間的位置、大小關(guān)系是
CF=BD,CF⊥BD
CF=BD,CF⊥BD
(直接寫出結(jié)論)
②如圖二,當(dāng)點D在線段BC的延長上時,①中的結(jié)論是否仍然成立?請說明理由.
(2)若AB≠AC,∠BAC≠90°.點D在線段BC上,那么當(dāng)∠ACB等于多少度時?線段CF與BD之間的位置關(guān)系仍然成立.請畫出相應(yīng)圖形,并說明理由.
分析:(1)①根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)得出AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,求出∠BAD=∠CAF,證△BAD≌△CAF,推出BD=CF,∠B=∠ACF,求出∠FCB=90°即可;
②求出∠BAD=∠CAF,證△BAD≌△CAF,推出BD=CF,∠B=∠ACF,求出∠FCB=90°即可;
(2)在BD上截取AM=AC,連接AM,與(1)證明過程類似證MAD≌△CAF即可求出答案.
解答:(1)①CF=BD CF⊥BD,
解:結(jié)論還成立,CF=BD CF⊥BD,
理由是:∵四邊形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中
AB=AC
∠BAD=∠CAF
AD=AF
,
∴△BAD≌△CAF,
∴CF=BD,∠B=∠ACF,
∵∠BAC=90°,
∴∠B+∠BCA=90°,
∴∠ACF+∠ACB=90°,
∴CF⊥BD,
故答案為:CF=BD,CF⊥BD.

②解:結(jié)論還成立,
理由是由①知,∠BAC=FAD=90°,
∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD,
∴∠BAD=∠FAC,
∵在△BAD和△CAF中
AB=AC
∠BAD=∠CAF
AD=AF
,
∴△BAD≌△CAF,
∴CF=BD,∠B=∠ACF,
∵∠BAC=90°,
∴∠B+∠BCA=90°,
∴∠ACF+∠ACB=90°,
∴CF⊥BD,
即①的結(jié)論還成立.

(2)解:當(dāng)∠ACB=45°時,CF⊥BD
理由是:如圖1,當(dāng)∠BAC>90°,過點A作AM⊥CA交BC于M,
則AM=AC,
由(1)同理可證明△FAC≌△MAD,
∴∠ACF=∠AMD=45°,
∴∠FCB=90°,
即CF⊥BD.
點評:本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,正方形的性質(zhì),主要培養(yǎng)學(xué)生的推理能力,本題具有一定的代表性,證明過程類似,透過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力.
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