Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，點E在AB上，點F在CD上，以EF為折痕，將此矩形折疊，使點A和點C重合，點D和點G重合．

(1)求證：四邊形AECF是菱形．

(2)若AB＝5，AD＝3，則菱形AECF的面積等于_____．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)S菱形AECF＝10.2.

【解析】

（1）依據(jù)翻折的性質和平行線的性質可證明∠AFE=∠AEF，依據(jù)等腰三角形的判定定理可得到AF=AE，從而可證明FC=AE，然后再證明四邊形AECF為平行四邊形，最后，結合條件AE=FC可證明平行四邊形AECF為菱形；
（2）設菱形的邊長為x，則DF=5-x，然后在Rt△ADF中，依據(jù)勾股定理可求得AF的長，最后，依據(jù)菱形的面積公式求解即可．

(1)由翻折的性質可知：AF＝FC，∠AFE＝∠EFC．

又∵FC∥AE，

∴∠EFC＝∠AEF．

∴∠AFE＝∠AEF．

∴AF＝AE．

∴FC＝AE．

又∵FC∥AE，

∴四邊形AECF為平行四邊形．

又∵AF＝FC，

∴平行四邊形AECF為菱形．

(2)解：設AF＝x，則AE＝x，DF＝5﹣x，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D＝90°，

∴AD2+DF2＝AF2，

∴(5﹣x)2+32＝x2，x＝3.4，

∴S菱形AECF＝ADAE＝3×3.4＝10.2．